OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

1. Bentuk aljabar dan unsur-unsurnya

Banyak kelereng Edy 6 lebihnya dari kelereng Ady. Jika banyak kelereng Ady dinyatakan dengan x maka banyak kelereng Edy dinyatakan dengan x + 6. Jika kelereng Ady sebanyak 4 buah maka kelereng Edy sebanyak 9 buah.

Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti berikut ini:

1.         2x, –3p,

2.        4y + 5, 2×2 – 3x +7,

3.        (x + 1)(x – 5),

4.        –5x(x – 1)(2x + 3).

Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis.

Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut.

1.        Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …, z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9 disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.  Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 dikali x atau 5x = 1 dikali 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.

Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar

5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6yadalah –6.

2.       Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a)   Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Contoh: 5x dan –2x, 3a² dan a², y dan 4y, …

Sedangkan suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh: 2x dan –3x², –y dan –x³, 5x dan –2y, …

b)     Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3x, 2a², –4xy, …

c)        Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 3, a² – 4, 3x² – 4x, …

d)       Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x² – x + 1, 3x + y – xy, …

e)       Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

 2. Operasi hitung bentuk aljabar

1.        Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut.

a)   –4ax + 7ax

b)  (2×2 – 3x + 2) + (4×2 – 5x + 1)

c)   (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)

Penyelesaian:

a)   –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax

b)  (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)

= 2x² – 3x + 2 + 4x² – 5x + 1

= 2x² + 4x² – 3x – 5x + 2 + 1

= (2 + 4)x² + (–3 – 5)x + (2 + 1)

= 6x² – 8x + 3

c)   (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)

= 3a² + 5 – 4a² + 3a – 2

= 3a² – 4a2 + 3a + 5 – 2

= (3 – 4)a² + 3a + (5 – 2)

= –a² + 3a + 3

2.       Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a(b+c) = (ab)+(ac) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a (b – c) = (ab) – (a c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

a.       Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k(ax) = kax

k(ax + b) = kax + kb

Contoh soal:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.

a.        4(p + q)

b.        5(ax + by)

c.         3(x – 2) + 6(7x + 1)

d.        –8(2x – y + 3z)

Penyelesaian:

a.        4(p + q) = 4p + 4q

b.        5(ax + by) = 5ax + 5by

c.         3(x – 2) + 6(7x + 1)

= 3x – 6 + 42x + 6

= (3 + 42)x – 6 + 6

= 45x

d.        –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

b.       Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(nx+b)(mx+d) = nx (mx+d)+b(mx+d)

 = nmx²+ndx+mbx+bd

=nmx²+(nd+mb)x+bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut.

= ax.cx² + ax.dx + ax.e + b.cx² + b.dx + b.e

= acx³ + adx² + aex + bcx² + bdx + be

= acx³ + (ad + bc)x² + (ae + bd)x + be

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(ax + b) (cx² + dx + e) = ax(cx² + dx + e)+ b(cx² + dx + e)

= acx³ + adx² + aex + bcx² + bdx + be

= acx³ + (ad + bc)x² + (ae + bd)x + be

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.

1.         (2x + 3) (3x – 2)

2.        (–4a + b) (4a + 2b)

3.        (2x – 1) (x2 – 2x + 4)

4.        (x + 2) (x – 2)